Если мы применяем параметрические методы (к примеру, формулу для расчета коэффициента корреляции Браве-Пирсона или дисперсионный анализ) которые следует применять только тогда, когда известно или доказано, что распределение признака является нормальным (Суходольский Г.В., 1972; Шеффе Г., 1980 и др.), то в этом случае нам необходимо убедиться в нормальности распределения результативного признака. Нормальность распределения результативного признака можно проверить путем расчета показателей асимметрии и эксцесса и сопоставления их с критическими значениями (Пустыльник Е.И., 1968, Плохинский Н.А.. 1970 и др.). Рассмотрим применение метода Е.И. Пустыльника на примере.
Действовать будем по следующему алгоритму:
рассчитаем критические значения показателей асимметрии и эксцесса по формулам Е.И. Пустыльника и сопоставим с ними эмпирические значения;
если эмпирические значения показателей окажутся ниже критических, сделаем вывод о том, что распределение признака не отличается от нормального.
Расчет эмпирических показателей асимметрии и эксцесса будем производить по формулам данным ранее.
Сначала сделаем расчет промежуточных значений, который удобно выполнять поэтапно, занося данные в таблицу (Таблица 3.6.).
Таблица 3.6. Расчет промежуточных значений
№ (*.¦ - *) (х. - х)2 (*, - *) (Л, -*)4
1 и 0,94 0,884 0,831 0,781
2 13 2,94 8,644 25,412 74,712
3 12 1,94 3,764 7,301 14,165
4 9 -1,06 1,124 -1,191 1,262
5 10 -0,06 0,004 -0,000 0,000
6 11 0,94 0,884 0,831 0,781
7 8 -2,06 4,244 -8,742 18,009
8 10 -0,06 0,004 -0,000 0,000
9 15 4,94 24,404 120,554 595,536
10 14 3,94 15,524 61,163 240,982
11 8 -2,06 4,244 -8,742 18,009
12 7 -3,06 9,364 -28,653 87,677
13 10 -0,06 0,004 -0,000 0,000
14 10 -0,06 0,004 -0,000 0,000
15 5 -5,06 25,604 -129,554 655,544
16 8 -2,06 4,244 -8,742 18,009
Суммы 161 102,944 30,468 1725,467
Для расчетов в таблице, необходимо значение среднего арифметического, которое вычисляется по формуле:
Л = - -¦¦¦-
п
где Xj - каждое наблюдаемое значение признака;
п - количество наблюдений. В данном случае:
* = 10,06 16
Стандартное отклонение (сигма) вычисляется по формуле:
п- 1
где х^ - каждое наблюдаемое значение признака; х - среднее значение (среднее арифметическое); п " количество наблюдений. В данном случае:
ст =
,02"944 = Д893 = 2,62
V 16-1
Подставляя в формулы для расчета А и Е полученные значения n, с и соответствующие
значения из таблицы, получаем:
. +30,468 Л _
А = г = +0,106
16 2,62
16 2,62
Теперь рассчитаем критические значения для показателей А и Е по формулам Е.И. Пустыльника:
V(« + l)-(n + 3)
Ар =3"- V "
Е«Р ~5 Л|/_ . ,42
24 я (я - 2) (я - 3) (и + I)2 (я + 3) (и + 5) где п - количество наблюдений.
В данном случае:
(16 + 1) (16 + 3) V 323
I *qrrr
89
-кр
I 2416-(16-2) (16-3) _5 169888 ?кр_5"^(16 + 1)2-(16+3)(16 + 5) V115311
Аамп=0,Ю6
"-эмп^-гл-кр
Еэмп -0,71 1 Еэмп^Екр
Так как эмпирические значения А и Е меньше критических значений, то можно сделать следующий вывод: распределение результативного признака в данном примере не отличается от нормального распределения.
Одним из важнейших в математической статистике является понятие нормального распределения. Нормальное распределение (называемое также распределением Гаусса), характеризуется тем, что крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близкие к средней величине – часто. Нормальное распределение возникает, когда данная случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из которых играет в образовании всей суммы незначительную роль.
Нормальное распределение имеет колоколообразную форму, значения моды, медианы и среднего арифметического равны между собой. Было установлено, что многие биологические параметры распределены подобным образом (рост, вес и так далее). Впоследствии психологи выяснили, что и большинство психологических свойств (показатели интеллекта͵ темпераментных особенностей, способностей и другие психические явления) также имеют нормальное распределение. Этот принцип учитывается при стандартизации тестовых методик. При этом, чем больше объём выборки, тем более полученное эмпирическое распределение приближается к нормальному.
Характерное свойство нормального распределения состоит в том, что 68,26 % из всех его наблюдений всегда лежат в диапазоне ± 1 стандартное отклонение от среднего арифметического (какова бы ни была величина стандартного отклонения). 95,44 % - в пределах ± двух стандартных отклонений и 99,72 – в пределах ± трех стандартных отклонений.
Нормальное распределение - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Нормальное распределение" 2017, 2018.
Классическое нормальное распределение НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА Лекция 6 Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым. Считается, что... .
Рассмотрим Пример 2, в котором случайная величина Х представлена выборкой {хi}. Эти данные получены оператором при измерении свойства А с помощью СИ. Значение А является постоянным. Случайные возмущения на входе и выходе СИ привели к тому, что (xj) рассеяны в диапазоне D = xmax -... .
Равномерное распределение Некоторые абсолютно непрерывные распределения Определение.Равномерным распределением на отрезке называют распределение с плотностью ОпределениеНормальным распределением c параметрами и называют распределение с плотностью... .
Определение 1. Непрерывная случайная величина называется распределённой логарифмически-нормально (логнормально), если её логарифм подчинён нормальному закону распределения. Так как при неравенства и равносильны, то функция распределения логнормального распределения... .
Определение 7. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, с двумя параметрами a, s, если, s>0. (5) Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение, будем кратко записывать в виде Х ~ N(a;s). Покажем, что p(x) – плотность (показано в... .
Определение 7. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, с двумя параметрами a, s, если, s>0. (5) Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение, будем кратко записывать в виде Х ~ N(a;s). Покажем, что p(x) – плотность (показано в...
Большинство экспериментальных исследований, связанных с измерениями, в том числе и в психологии, способных принимать практически любые значения в заданном интервале (что зависит от величины выборки) описываются моделью случайных непрерывных величин и соответственно – непрерывном распределении.
Одним из непрерывных распределений, имеющим основополагающую роль в математической статистике является нормальное (или Гауссово) распределение. Нормальное распределение является самым важным в статистике, что объясняется рядом причин:
Имеет колоколообразную форму, симметричную относительно точки M=X,cточками перегиба, абсциссы которых отстоят отMна +.
Для нормального распределения математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение генеральной совокупности равно (сигма).
нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами: математическим ожиданием (средним) и стандартным отклонением.
мода, медиана и среднее арифметическое нормального распределения совпадают и равны математическому ожиданию M.
Многие экспериментальные наблюдения можно успешно описать с помощью близкого к нормальному распределению.
Большинство распределений, связанных со случайной выборкой, при увеличение объёма последней переходят к нормальному распределению.
Нормальное распределение обладает рядом благоприятных математических свойств, во многом обеспечивающих его широкое применение в статистике:
Исходя из того, что нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами Mи(сигма), то при измерении этих параметров можно получить целое семейство нормальных кривых. Чтобы избежать неудобств, связанных с расчётами для каждого конкретного случая, в психологии используют так называемоенормированное (или чаще стандартное)нормальное распределение , которое и применяется для стандартизации шкал (психометрических линеек).
Нормированное нормальное распределение, имея параметры M= 0 и= 1, имеет колоколообразную форму.
Особенностью данной кривой является то, что площадь под кривой имеет постоянное значение (как показано на рисунке 1). Эта особенность является основной для стандартной интерпретации в эмпирических исследованиях с целью постановки психологического диагноза: так при изучении проявления, какого – либо признака, при попадании индивидуального результата в диапазон составляет 68,2% от всех случаев (т.е. у 68,2% испытуемых генеральной совокупности, степень проявления изучаемого признака будет находиться именно в этом диапазоне), что может оцениваться как среднее проявление изучаемого признака и интерпретироваться какнорма , в проявлении признака.
Рис.1. Процентное распределение случаев под нормальной кривой.
Стандартизированные шкалы.
Показатели психометрических тестов, применяемых в практической психологии с целью постановки психологического диагноза, переводятся из первичных ("сырых" – не подвергнутых обработке) и полученных испытуемым по данному тесту в стандартные показатели, которые рассчитываются на основе линейного или нелинейного преобразования первичных показателей (при условии их распределения близкого к нормальному закону). При этом исторически сложилось наличие ряда наиболее распространённых стандартных показателей, связанных с особенностями преобразования, и отсюда – наличие "семейства" стандартных шкал, переводимых друг в друга и несводимых кZ-шкале.
Z-шкала образуется в результате центрирования, понимаемого как линейная трансформация величин признака, при которой средняя величина распределения становится равная нулю, и процедуры нормирования посредством среднеквадратических отклонений.
Z-шкала состоит из непрерывного континуумаZ-показателей, определяемых в виде разности между индивидуальными первичными результатами и средним значением для генеральной совокупности, делённые на стандартное отклонение распределения.
где X– необработанные, сырые баллы,
–
Среднее,
– стандартное отклонение.
При этом полученная Z-шкала будет иметь среднюю точкуM=0 и единицу измерения (масштаб) 1стандартного (единичного) нормального распределения как показано на рисунке 2.
Z-показатель может
принимать как положительные, так и
отрицательные значения. Большинство
случаев (99,72%) значения показателей
уменьшаются в пределах -3
,
гдеZp– преобразованный
стандартный показатель;b– стандартное отклонение преобразованного
распределения;Z–Z-показатель;A– среднее значение преобразованного
распределения. Такой переход правомерен,
так как стандартная шкала представляет
собой интервальную шкалу, что позволяет
выполнить линейные преобразования,
при условии, что константыbиA– действительные
числа.
Разберём процедуру получения преобразованных стандартных показателей на ряде примеров:
Было проведено эмпирическое исследование уровня уверенности в себе (опросник Рейзаса – 0-90) на выборке учителей (50 человек) из различных школ г. Н. Новгорода. В результате первичной статистической обработки были получены результаты:
Распределение первичных результатов ("сырых баллов") по форме близко к нормальному распределению (после процедур группировки и анализа кривой распределения – полигона частот).
Вычислены характеристики для данной выборки –
Предлагается провести линейное преобразование и определить для различных шкал значение одного первичного результата X=45 ("сырой балл" одного из испытуемых).
Преобразование в Z-показатель производится по формуле:
где Z– стандартныйZ-показатель;
X– первичный результат тестового измерения;
M x – средняя величина результатов выборки (в нашем случае медианаMe);
S x – стандартное отклонение для данной выборки. Найдите полученный показатель наZ-шкале (рисунок 2) и сделайте вывод о проявлении изучаемого признака у данного испытуемого.
Преобразование в T-шкалу для опросников Мак-Колла производится по уже известной формуле (Zp=A+bZ), подставляя вместо константA=M = 50;b== 10 – полученные Мак-Коллом в результате нормализации эмпирических распределений собственных опросников, переведём результат испытуемого (X=45) в стандартныеT-баллы по формуле:
Таким образом, результат – 25 T-баллов (стандартных баллов).
Преобразование в шкалу станайнов Гилфорда (англ.standardnine– стандартная девятка), где оценкам присваивают целые значения от 1 до 9, приM = 5, = 2 производятся по формуле:
В данном случае результат испытуемого будет 1 станайн (т.к. полученный результат C = 0 попал в интервал 1-го станайна).
Данная C-шкала обладает таким замечательным свойством (см. рисунок 2), что в 1 и 9 станайны попадает по 4% испытуемых всей выборки, во 2 и 8 станайны – по 7%, и т.д. Таким образом, при ранжированном упорядочивании в сторону возрастания первичных тестовых результатов и условии их нормального (или близкому к нормальному) распределения первым 4% данных присваивается 1 станайн, последующим 7% данных – 2-ой станайн, следующим 12% данных – 3-й станайн и т.д., таким образом, данные будут упорядочены в шкалу, соответствующую стандартным частотам распределения результата.
Преобразование в шкалу стенов Кэттела (от англ.standardten– стандартная десятка) для опросника 16PF, где оценкам присваивают целые значения от 1 до 10, приM = 5;= 2 производят по формуле:
В данном случае результат испытуемого попадает в интервал 1-го стена.
В тестировании интеллекта используются нормализованные шкалы:
Шкала Векслера представленнаяIQ-стандартными баллами:
Шкала структуры интеллекта Амтхауэра по формуле:
С целью интерпретации данных для работников образования представляет интерес шкала Линерта:
Шкала школьных оценок Линерта:
Рис.2. Нормальная кривая и стандартные показатели.
Полученные в исследовании эмпирические данные подлежат проверке на распределение их в выборках по отношению к средней (арифметической, медиане или моде).
Распределением признака называется закономерность встречаемости разных его значений . В психологических исследованиях чаще всего ссылаются на нормальное распределение.
Одним из важнейших в математической статистике является понятие нормального распределения. Нормальное распределение – модель варьирования некоторой случайной величины, значения которой определяются множеством одновременно действующих независимых факторов. Число таких факторов велико, а эффект влияния каждого из них в отдельности очень мал. Такой характер взаимовлияний весьма характерен для психических явлений, поэтому исследователь в области психологии чаще всего выявляет нормальное распределение. Однако так бывает не всегда, поэтому в каждом случае форма распределения должна быть проверена. Характер распределения выявляется главным образом с целью определиться в методах математико-статистической обработки данных.
Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близкие к средней величине - достаточно часто. Нормальным такое распределение называется потому, что оно очень часто встречалось в естественно-научных исследованиях и казалось «нормой» всякого массового случайного проявления признаков. График нормального распределения представляет собой привычную глазу психолога-исследователя так называемую колоколообразную кривую (рис. А).
Рис. А. Кривая нормального распределения
Параметры распределения – это его числовые характеристики, указывающие, где «в среднем» располагаются значения признака, насколько эти значения изменчивы и наблюдается ли преимущественное появление определенных значений признака . Наиболее практически важными параметрами являются математическое ожидание, дисперсия, показатели асимметрии и эксцесса.
В реальных психологических исследованиях мы оперируем не параметрами, а их приближенными значениями, так называемыми оценками параметров. Это объясняется ограниченностью обследованных выборок. Чем больше выборка, тем ближе может быть оценка параметра к его истинному значению. В дальнейшем, говоря о параметрах, мы будем иметь в виду их оценки.
Для определения способов математико-статистической обработки прежде всего необходимо оценить характер распределения данных по всем используемым параметрам (признакам). Для параметров (признаков), имеющих нормальное распределение или близкое к нормальному, можно использовать методы параметрической статистики, которые во многих случаях являются более мощными, чем методы непараметрической статистики. Достоинством последних является то, что они позволяют проверять статистические гипотезы независимо от формы распределения.
Если характер распределения показателей психологического признака является нормальным или близким к нормальной форме распределения признака, описываемой кривой Гаусса, то мы можем использовать параметрические методы математической статистики как наиболее простые, надежные и достоверные: сравнительный анализ, расчет достоверности отличий признака между выборками по f-критерию Стьюдента, F-критерию Фишера, коэффициент корреляции Пирсона и др.
Если кривая распределения показателей психологического признака далека от нормальной, то мы вынуждены будем использовать методы непараметрической статистики: расчет достоверности отличий по критерию Q Розенбаума (для малых выборок), по критерию U Манна – Уитни, коэффициент ранговой корреляции Спирмена, факторный, многофакторный, кластерный и другие методы анализа.
Помимо этого, по характеру распределения можно составить общее представление об общей характеристике выборки испытуемых по данному признаку и тому, насколько данная методика соответствует (т. е. «работает», валидна) данной выборке.
Для нормального распределения характерно следующее:
а) все три средние совпадают;
б) кривая распределения частот и значений совершенно симметрична по отношению к средней, т. е. слева и справа от нее лежит 50% вариантов; в интервале от М -lo до М +1о находится 68,26% всех вариантов; в интервале от М -2о до М +2о лежит 95,44% вариантов.
В психологии существует ряд шкал, основанных на нормальном распределении и имеющих разные значения М и σ. Распределения различных измеренных в эксперименте признаков имеют разные величины М и σ. Переводя полученные первичные оценки разных признаков к распределению с одними и теми же М и σ, мы получаем больше возможностей для оценки и сопоставления их варьирования. Сделать это нам позволяет использование нормированного отклонения . Нормированное отклонение показывает, на сколько сигм отклоняется та или иная варианта от среднего уровня варьирующего признака (средней арифметической) , и выражается формулой:
где Хi
М
σ – стандартное отклонение.
С помощью нормированного отклонения можно оценить любое полученное значение по отношению к группе в целом, взвесить его отклонение и одновременно освободиться от именованных величин. Для того чтобы избавиться от отрицательных чисел, к полученной величине t обычно прибавляют какую-либо константу.
С учетом этих соображений весьма удобна шкала Г-баллов. Для этой шкалы принято нормальное распределение, имеющее М = 0, σ = 10.
Рис. Б. Расчет нормального распространения по шкале Г-баллов
Для пересчета берется константа, равная 50. Формула преобразования сырых оценок в Г-баллы следующая:
где Хi – значение признака (в «сырых» баллах);
М – средняя арифметическая признака;
σ – стандартное отклонение.
Для облегчения и алгоритмизации практической работы психолога существуют специальные таблицы перевода «сырых» баллов, например, базовых шкал теста СМИЛ (адаптированный вариант теста MMPI, разработан Л. Н. Собчик), теста МЛО «Адаптивность» в стандартные Г-баллы.
Наиболее широкое распространение получил способ приведения нормированных оценок к виду, удобному для практического применения, предложенный Р. Б. Кэттеллом (1970, 1973), который представляет перевод исходных тестовых оценок в 10-балльную равноинтервальную шкалу. Это достигается путем разбиения оси тестовых оценок на 10 интервалов, соответствующих долям стандартного отклонения.
Рис. В. Нормальное распространение для равноинтервальных шкал
При этом среднее арифметическое по группе принимается за среднюю точку и ей присваивается значение, равное 5,5 балла по стандартной 10-балльной шкале. Всякая оценка в интервале (М + 0,25 σ) переводятся в 6 баллов, а оценка в (М – 0,25 σ) дает стандартный балл, равный 5,0. Любое дальнейшее увеличение или уменьшение тестовой оценки на 0,5 σ увеличивает или уменьшает стандартную оценку на 1 балл.
Таким образом, для создания стеновой шкалы и вычисления ее пограничных значений «сырых» баллов можно использовать следующую таблицу (при условии нормального распределения признака или близкого к нормальному).
1 стен = М – 2,25 σ
2 стен = М – 1,75 σ
3 стен = М – 1,25 σ
4 стен = М – 0,75 σ
5 стен = М – 0,25 σ
6 стен = М + 0,25 σ
7 стен = М + 0,75 σ
8 стен = М + 1,25 σ
9 стен = М + 1,75 σ 10 стен = М + 2,25 σ
Перевод отдельных «сырых» баллов в стены может выполняться и без создания стеновой шкалы, а непосредственно по общей формуле:
где Хi – значение признака (в «сырых» баллах);
М – средняя арифметическая признака;
А – заданное стандартное отклонение;
С – заданное среднее значение;
σ – стандартное отклонение значений признака.
Таким образом, практический смысл процедуры нормирования состоит, например, в том, что выражение «сырых» значений шкал в Г-баллах позволяет сравнивать шкалы профиля личности между собой (для опросников СМИЛ, МЛО «Адаптивность» и др.). Так, в пределах нормы считаются личностные характеристики, показатели которых не выходят за пределы 40 –70 Г-баллов. Все значения, превышающие эти границы, рассматриваются как акцентуации характера той или иной степени выраженности (в отдельных случаях – до уровня патологических проявлений).
