Урок по информатике рассчитан на учащихся 10-х классов общеобразовательной школы, в учебном плане которой входит раздел «Алгебра логики». Учащимся очень нелегко дается эта тема, поэтому мне, как учителю, захотелось заинтересовать их в изучении законов логики, упрощении логических выражений и с интересом подойти к решению логических задач. В обычной форме давать уроки по этой теме нудно и хлопотно, да и ребятам не всегда понятны некоторые определения. В связи с предоставлением информационного пространства, у меня появилась возможность выкладывать свои уроки в оболочке «learning». Учащиеся, зарегистрировавшись в ней, могут в свое свободное время посещать этот курс и перечитывать то, что было непонятно на уроке. Некоторые учащиеся, пропустив уроки по болезни, наверстывают дома или в школе пропущенную тему и всегда готовы к следующему уроку. Такая форма преподавания очень устроила многих ребят и те законы, которые им были непонятны, теперь в компьютерном виде ими усваиваются гораздо легче и быстрее. Предлагаю один из таких уроков информатики, который проводится интегративно с ИКТ.

План урока

Объяснение нового материала, с привлечением компьютера – 25 минут.
Основные понятия и определения, выложенные в «learning» - 10 минут.
Материал для любознательных – 5 минут.
Домашнее задание – 5 минут.

1. Объяснение нового материала

Законы формальной логики

Наиболее простые и необходимые истинные связи между мыслями выражаются в основных законах формальной логики. Таковыми являются законы тождества, непротиворечия, исключенного третьего, достаточного основания.

Эти законы являются основными потому, что в логике они играют особо важную роль, являются наиболее общими. Они позволяют упрощать логические выражения и строить умозаключения и доказательства. Первые три из вышеперечисленных законов были выявлены и сформулированы Аристотелем, а закон достаточного основания - Г. Лейбницем.

Закон тождества: в процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе.

Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и то оке в одно то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно что-либо одновременно утверждать и отрицать.

Закон исключенного третьего: из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано.

Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована.

Последний закон говорит о том, что доказательство чего-либо предполагает обоснование именно и только истинных мыслей. Ложные же мысли доказать нельзя. Есть хорошая латинская пословица: «Ошибаться свойственно всякому человеку, но настаивать на ошибке свойственно только глупцу». Формулы этого закона нет, так как он имеет только содержательный характер. В качестве аргументов для подтверждения истинной мысли могут быть использованы истинные суждения, фактический материал, статистические данные, законы науки, аксиомы, доказанные теоремы.

Законы алгебры высказываний

Алгебра высказываний (алгебра логики) - раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний.

При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы.

Законы алгебры высказываний (алгебры логики) - это тавтологии.

Иногда эти законы называются теоремами.

В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул. Среди законов особо выделяются такие, которые содержат одну переменную.

Первые четыре из приведенных ниже законов являются основными законами алгебры высказываний.

Закон тождества:

Всякое понятие и суждение тождественно самому себе.

Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.

Например, рассуждение Правильно говорят, что язык до Киева доведет, а я купил вчера копченый язык, значит, теперь смело могу идти в Киев неверно, так как первое и второе слова «язык» обозначают разные понятия.

В рассуждении: Движение вечно. Хождение в школу - движение. Следовательно, хождение в школу вечно слово «движение» используется в двух разных смыслах (первое - в философском смысле - как атрибут материи, второе - в обыденном смысле - как действие по перемещению в пространстве), что приводит к ложному выводу.

Закон непротиворечия:

Не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание. То есть если высказывание А - истинно, то его отрицание не А должно быть ложным (и наоборот). Тогда их произведение будет всегда ложным.

Именно это равенство часто используется при упрощении сложных логических выражений.

Иногда этот закон формулируется так: два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными. Примеры невыполнения закона непротиворечия:

1. На Марсе есть жизнь и на Марсе жизни нет.

2. Оля окончила среднюю школу и учится в X классе.

Закон исключенного третьего:

В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А. Примеры выполнения закона исключенного третьего:

1. Число 12345 либо четное, либо нечетное, третьего не дано.

2. Предприятие работает убыточно или безубыточно.

3. Эта жидкость является или не является кислотой.

Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: «либо - либо», «истина-ложь». Там же, где встречается неопределенность (например, в рассуждениях о будущем), закон исключенного третьего часто не может быть применен.

Рассмотрим следующее высказывание: Это предложение ложно. Оно не может быть истинным, потому что в нем утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключенного третьего.

Парадокс (греч. paradoxos - неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя. Другим известным парадоксом является задача о парикмахере: В одном городе парикмахер стрижет волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижет себя сам. Кто стрижет волосы парикмахеру? В логике из-за ее формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Это еще раз подтверждает мысль о том, что с помощью алгебры логики нельзя выразить все возможные мысли и доводы. Покажем, как на основании определения эквивалентности высказываний могут быть получены остальные законы алгебры высказываний.

Например, определим, чему эквивалентно (равносильно) А (двойное отрицание А, т. е. отрицание отрицания А). Для этого построим таблицу истинности:

По определению равносильности мы должны найти тот столбец, значения которого совпадают со значениями столбца А. Таким будет столбец А.

Таким образом, мы можем сформулировать закон двойного отрицания:

Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание. Например, высказывание А = Матроскин - кот эквивалентно высказыванию А = Неверно, что Матроскин не кот.

Аналогичным образом можно вывести и проверить следующие законы:

Свойства констант:

Законы идемпотентности:

Сколько бы раз мы ни повторяли: телевизор включен или телевизор включен или телевизор включен... значение высказывания не изменится. Аналогично от повторения на улице тепло, на улице тепло,... ни на один градус теплее не станет.

Законы коммутативности:

A v B = B v A

А & В = В & А

Операнды А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять местами.

Законы ассоциативности:

A v(B v C) = (A v B) v C;

А & (В & C) = (A & В) & С.

Если в выражении используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.

Законы дистрибутивности:

A v (B & C) = (A v B) &(A v C)

(дистрибутивность дизъюнкции
относительно конъюнкции)

А & (B v C) = (A & B) v (А & C)

(дистрибутивность конъюнкции
относительно дизъюнкции)

Закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции аналогичен дистрибутивному закону в алгебре, а закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции аналога не имеет, он справедлив только в логике. Поэтому необходимо его доказать. Доказательство удобнее всего провести с помощью таблицы истинности:

Законы поглощения:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

Проведите доказательство законов поглощения самостоятельно.

Законы де Моргана:

Словесные формулировки законов де Моргана:

Мнемоническое правило: в левой части тождества операция отрицания стоит над всем высказыванием. В правой части она как бы разрывается и отрицание стоит над каждым из простых высказываний, но одновременно меняется операция: дизъюнкция на конъюнкцию и наоборот.

Примеры выполнения закона де Моргана:

1) Высказывание Неверно, что я знаю арабский или китайский язык тождественно высказыванию Я не знаю арабского языка и не знаю китайского языка.

2) Высказывание Неверно, что я выучил урок и получил по нему двойку тождественно высказыванию Или я не выучил урок, или я не получил по нему двойку.

Замена операций импликации и эквивалентности

Операций импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций конкретного компьютера или транслятора с языка программирования. Однако для решения многих задач эти операции необходимы. Существуют правила замены данных операций на последовательности операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.

Так, заменить операцию импликации можно в соответствии со следующим правилом:

Для замены операции эквивалентности существует два правила:

В справедливости данных формул легко убедиться, построив таблицы истинности для правой и левой частей обоих тождеств.

Знание правил замены операций импликации и эквивалентности помогает, например, правильно построить отрицание импликации.

Рассмотрим следующий пример.

Пусть дано высказывание:

Е = Неверно, что если я выиграю конкурс, то получу приз.

Пусть А = Я выиграю конкурс,

В = Я получу приз.

Отсюда, Е = Я выиграю конкурс, но приз не получу.

Интерес представляют и следующие правила:

Доказать их справедливость можно также с помощью таблиц истинности.

Интересно их выражение на естественном языке.

Например, фраза

Если Винни-Пух съел мед, то он сыт

тождественна фразе

Если Винни-Пух не сыт, то меда он не ел.

Задание: придумайте фразы-примеры на данные правила.

2. Основные понятия и определения в Приложении 1

3. Материал для любознательных в Приложении 2

4. Домашнее задание

1) Выучить законы логики, используя курс «Алгебры логики», размещенный в информационном пространстве (www.learning.9151394.ru).

2) Проверить на ПК доказательство законов де Моргана, построив таблицу истинности.

Приложения

Основные понятия и определения (

Дискретная математика: Математическая логика

Лекция 8

Минимизация булевых функций. Метод Квайна-МакКласки

Законы алгебры Буля

В математической логике определяется специальная алгебра, алгебра Буля, содержащая операции логического умножения, логического сложения и отрицания {  ,+, - }, которые позволяет производить тождественные преобразования логических выражений. К этим законам относятся

Закон идемпотентности (одинаковости)

Закон коммутативности

a  b = b a

Закон ассоциативности

a + (b + c) = (a + b) + c

a  (b  c) = (a  b)  c

Законы дистрибутивности

Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции

A  (b + c) = a  b + a  c

Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции

A + b  c = (a + b)  (a + c)

акон двойного отрицания

Законы де Моргана

Законы поглощения

a + a  b = a

a  (a + b) = a

Законы, определяющие действия с логическими константами 0 и 1

a + 0 = a

a  0 = 0

a + 1 = 1

a  1 = a

1 = 0

Правомерность всех рассмотренных выше законов может быть легко доказана, например, с использованием таблиц истинности.
Дополнительные законы

Дополнительные законы алгебры Буля являются следствиями из основных законов и очень полезны при упрощении записи логических функций.
Закон склеивания

Доказательство этого тождества проводится с использованием первого закона дистрибутивности:

Доказательство этого тождества проводится с использованием второго закона дистрибутивности:

Закон Блейка-Порецкого

Применяя законы действия с логическими константами, идемпотентности и склеивания, данное тождество можно доказать следующим образом:

Закон свертки логического выражения

Данное тождество можно доказать, последовательно используя законы работы с логическими константами, дистрибутивности, идемпотентности и склеивания:

Упрощение логических функций

Для нормальных форм представления функций определено понятие сложности функции, как число первичных термов в таком представлении. Преобразования нормальной формы с целью снижения сложности функции называется упрощением . Для упрощения логических функций используются все законы алгебры логики..

Задачи.

Упростить СДНФ следующих функций:

1. (a b )  c

2. (a  b )  c

Представим функцию в совершенной дизъюнктивной форме и упростим ее с помощью законов алгебры логики:

СДНФ =

Дальнейшее упрощение невозможно.

Представим функцию в совершенной дизъюнктивной форме и упростим ее с помощью законов алгебры логики:

СДНФ =
5.

Представим функцию в совершенной дизъюнктивной форме и упростим ее с помощью законов алгебры логики:

Метод Квайна-МакКласки

Минимизация логических функций можно проводить с помощью метода Квайна-МакКласски, который состоит из четырех шагов:

Представим наборы (конституенты), на которых функция истинна, в виде двоичных эквивалентов.
Упорядочим двоичные эквиваленты по ярусам (по числу единиц двоечных эквивалентов) и провести склейку (применить правило склеивания к соответствующим конституентам) наборов в соседних ярусах, получая максимальные интервалы до тех пор, пока это возможно; помечаем каждый набор, участвовавший в склейке. Склеиваются только те наборы или интервалы, различие в которых заключается только в значении одного разряда: 001 и 000, 001- и 101-, и т.д.
Построим таблицу Квайна, столбцы которой соответствуют двоичные наборы истинности функции, а строки – максимальным интервалам. Если i-ый набор покрывается j-ым интервалом, то ставим 1 на пересечении соответствующих строки и столбца, в противном случае ставим 0 или ничего.
Находим минимальное покрытие таблицы Квайна, состоящее из минимального количества максимальных интервалов, включающих в себя (покрывающих) все наборы, на которых функция истинна.

Рассмотрим функцию F1, которая истинна на наборах {1, 3, 5, 7, 11, 13, 15}. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма данной функции равна:

Двоичные эквиваленты истинных наборов следующие:

1	0001
3	0011
5	0101
7	0111
11	1011
13	1101
15	1111

Упорядочим двоичные наборы по ярусам и проведем склейки, до тех пор, пока это возможно

0001  	00-1 	0-1
0011  	0-01 	--11
0101  	-011 	-1-1
0111   	0-11  
1101  	-101 
1011  	01-1  
1111   	11-1 
	-111  
	1-11 

Затем строим таблицу Квайна:

	0001	0011	0101	0111	1011	1101	1111
0--1	1	1	1	1
--11		1		1	1	1	1
-1-1			1	1		1	1

В нашей таблице наборы 0001 и 1011 покрываются единственно возможным образом, следовательно, покрывающие их минимальные интервалы называются обязательными и образуют ядро покрытия , т.к. должны входить в любое покрытие. В таблице соответствующие единицы подчеркнуты, интервалы {0- -1,- -11} образуют не только ядро покрытие, но и покрывают всю таблицу Квайна.
Таким образом, мы получили минимальную форму исследуемой функции в виде:

МДНФ = {0 - - 1, - - 1 1} =

Рассмотрим несколько примеров.
Задачи.

1. Найти МДНФ функции f 1 =

x1 x2 x3 x4
0 0 0 0	0
0 0 0 1	1
0 0 1 0	1
0 0 1 1	1
0 1 0 0	1
0 1 0 1	0
0 1 1 0	0
0 1 1 1	1
1 0 0 0	0
1 0 0 1	1
1 0 1 0	1
1 0 1 1	1
1 1 0 0	0
1 1 0 1	1
1 1 1 0	0
1 1 1 1	1

Совершенная ДНФ исследуемой функции имеет вид:

0001 	00-1 	-0-1
0010 	-001 	-01-
0100	001- 	--11
0011 	-010 	1-1
1010 	0-11 
1001 	-011 
0111 	101- 
1011 	10-1 
1101 	1-01 
1111 	-111 
	1-11 
	11-1 

В первом столбике присутствует набор, который не участвовал ни в одной склейке – он сам является максимальным интервалом 0100. В третьем столбике к нему добавляется еще четыре максимальных интервала: {-0-1, -01-, --11, 1--1}.

Строим таблицу Квайна:

	0001	0010	0100	0011	1010	1001	0111	1011	1101	1111
0100			1
-0-1	1					1		1	1
-01-		1		1	1			1
--11				1			1	1		1
1--1						1		1	1	1

Определим ядро покрытия, в которое войдут обязательные интервалы:

{0100, -0-1, -01-, --11}. В данном случае, ядро покрытия покрывает и всю таблицу в целом.

Минимальная дизъюнктивная нормальная форма f1 имеет вид:

2. Найти МДНФ функции f 2( x 1, x 2, x 3), которая принимает единичные значения на наборах 0,2,3,6 и 7.

Построим таблицу истинности для f 2

x1 x2 x3	F2
0 0 0	1
0 0 1	0
0 1 0	1
0 1 1	1
1 0 0	0
1 0 1	0
1 1 0	1
1 1 1	1

СДНФ =
Упорядочим двоичные наборы по ярусам и проведем склейку:

000 	0-0 	--0
010 	-00 
100 	-10 
110 	1-0 
111 	11-

В результате склейки у нас получилось всего два максимальных интервала: {11-, --0}. Без построения таблицы Квайна очевидно, что они образуют минимальное покрытие, т.к. удаление любого из этих интервалов приведет к потери наборов, на которых функция f2(x1, x2, x3) истинна. МДНФ = x1 x2 +x3.

ЛИТЕРАТУРА

Гусева А.И. Учимся информатике: задачи и методы их решения.- М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003.
Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. - М.: Наука. Физматлит, 1999.-544с

Для преобразования функций, упрощения формул, полученных при формализации условий логических задач, в алгебре логики производятся эквивалентные преобразования, опирающиеся на основные логические законы. Некоторые из этих законов формулируются и записываются так же, как аналогичные законы в арифметике и алгебре, другие выглядят непривычно.

Законы алгебры логики называют иногда теоремами .

В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул.

В справедливости всех законов можно убедиться, построив таблицы истинности для левой и правой частей записанного закона. После упрощения выражения с применением законов алгебры логики таблицы истинности совпадают.

Справедливость части законов можно доказать, применяя инструментарий таблиц истинности.

Рисунок 1.

Примеры

Рисунок 3.

Упростим исходное выражение, используя основные законы алгебры логики:

Рисунок 4.

(закон Де Моргана, распределительный закон для И, закон идемпотенции, операция переменной с её инверсией).

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных $x$ и $y$ формула на рис.2 принимает значение $1$, то есть является тождественно истинной.

Рисунок 6.

Из таблицы видно, что Исходное выражение принимает такие же значения, что и Упрощенное выражение на соответствующих значениях переменных $x$ и $y$.

Упростим выражение на рис.5, применяя основные законы алгебры логики.

Рисунок 7.

(закон Де Моргана, закон поглощения, распределительный закон для И).

Рисунок 9.

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных $x$ и $y$ формула на рис.8 принимает значение $0$, то есть является тождественно ложной.

Упростим выражение, применяя законы алгебры логики:

Рисунок 10.

Рисунок 12.

(закон Де Могргана, распределительный).

Составим таблицу истинности для выражения на рис.11:

Рисунок 13.

Из таблицы видно, что выражение на рис.11 в некоторых случаях принимает значение $1$, а в некоторых - $0$, то есть является выполнимым.

(правило де Моргана, выносим за скобки общий множитель, правило операций переменной с её инверсией).

(повторяется второй сомножитель, что возможно используя закон идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания).

(вводим вспомогательный логический сомножитель

научиться применять законы алгебры логики для упрощения выражений;

развивать логическое мышлении;

прививать внимательность

Опрос законов алгебры логики (на доске).

Перечислим наиболее важные из них:

X X Закон тождества.

Закон противоречия

Закон исключенного третьего

Закон двойного отрицания

Законы идемпотентности: X X X, X X C

Законы коммутативности (переместительности): X Y Y X, X Y Y X

Законы ассоциативности (сочетательности): (X Y) Z X (Y Z), (X Y) Z X (Y Z)

Законы дистрибутивности (распределительности): X (Y Z) (X Y) (X Z), X (Y Z) (X Y) (X Z)

Законы де Моргана ,

X 1 X, X 0 X

X 0 0, X 1 1

1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.

Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием. “Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.

Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.

Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания — то же, что утверждать это высказывание.

“ Неверно, что 2*24”

Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.

Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.

В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806-1871) — шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках:

— отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.

— отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.

1. Установить эквивалентны ли высказывания.

3. С помощью таблиц истинности доказать законы поглощения и склеивания.

I. Подача нового материала.

Законы поглощения: X (X Y) X, X (X Y) X

Законы склеивания: (X Y) (Y) Y, (X Y) (Y) Y

Доказать законы логики можно:

с помощью таблиц истинности;
с помощью равносильностей.

Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:

(X Y) (Y) (X+Y) *(+Y) X* + Y* + Y*Y+ X*Y Y* + Y + X*Y Y* + Y(1+X) Y* +Y Y(+1) Y склеивания
X (X Y) X*X+X*Y X+X*Y X(1+Y) X поглощения

П. Практическая часть

1. Упрощение формул.

Пример 1. Упростить формулу (А+В)·* (А+С)

Раскроем скобки (A + B) * (A + C) A * A + A * C + B * A + B * C
По закону идемпотентности A*A A , следовательно, A*A + A*C + B*A + B*C A + A*C + B*A + B*C
В высказываниях А и А*C вынесем за скобки А и используя свойство А+1 1, получим А+А*С+ B*A + B*C A*(1 + С) + B*A + B*СA + B*A + B*С
Аналогично пункту 3. вынесем за скобки высказывание А.
A + B*A + B*С A (1 + B) + B С A + B*С
Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

2. Преобразования “поглощение” и “склеивание”

Пример 2. Упростить выражение А+ A*B

Решение. A+A*B A (1 + B) A — поглощение

Пример 3. Упростить выражение A*B+A*

Решение . A*B + A* A (B + ) A — склеивание

3. Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний — все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.

Пример 4. Преобразовать формулу так, чтобы не было отрицаний сложных высказываний.

Воспользуемся формулой де Моргана, получим:
Для выражения применим еще раз формулу де Моргана, получим:

4. Любую формулу можно тождественно преобразовать так, что в ней не будут использованы:

знаки логического сложения;
знаки логического умножения,
будут использованы:
знаки отрицания и логического умножения
знаки отрицания и логического сложения.

Пример 5. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения.

Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана.

Вывод: В алгебре логики всякую логическую функцию можно выразить через другие логические функции, но их должно быть по меньшей мере 2 операции, при этом одной из них обязательно должно быть отрицание.

Все операции можно выразить через конъюнкцию и отрицание, дизъюнкцию и отрицание, импликацию и отрицание. Через эквиваленцию и отрицание остальные операции выразить нельзя.

Задание 1. Установить истинность высказывания .
Задание 2 Установить является ли высказывание тавтологией?
Задание 3. Установить эквивалентны ли высказывания.

1. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключив логическое сложение:

2. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключить логическое умножение.

lunina.21205s09.edusite.ru

Законы поглощения и склеивания

Изучим два метода получения сокращенной ДНФ, но прежде вспомним законы поглощения и склеивания конъюнкций и добавим к ним закон неполного склеивания.

Закон поглощения: K 1 K 1 K 2 = K 1 .

Закон склеивания: x K x K = K.

Закон неполного склеивания: x K x K = x K x K K.

Закон обобщенного склеивания: x K 1 x K 2 = x K 1 x K 2 K 1 K 2 .

Очевидно, что закон неполного склеивания следует из закона обобщенного склеивания (при K 1 =K 2 =K), а закон склеивания – из закона неполного склеивания (если в последнем выполнить поглощения конъюнкций).

Переведем эти законы на язык интервалов, используя интервалы и представляющие их троичные векторы как синонимы.

Закон поглощения говорит о том, что если объединение двух интервалов I и I’ совпадает с I, то интервал I’ содержится в интервале I (поглощается им). Значит, поглощаемый вектор должен получаться из поглощающего заменой некоторых его внутренних компонент (–) на внешние (0 или 1).

Пример. В паре троичных векторов вектор β поглощается вектором α.

Закон склеивания объединяет два соседних интервала в один. Напомним, что соседние интервалы совпадают по номерам внешних компонент, но различаются по значению ровно одной из них (ортогональной). При склеивании получается интервал, который отличается от исходных лишь в ортогональной компоненте – она становится внутренней (операция склеивания соседних интервалов уже рассматривалась в подразделе 2.2.3).

Пример. Результатом склеивания соседних векторов α и β является вектор γ:

Закон неполного склеивания объединяет два соседних интервала и добавляет к результату исходные интервалы.

Пример. Результатом неполного склеивания векторов α и β из предыдущего примера являются три вектора: α, β и γ.

Закон обобщенного склеивания объединяет соседние части двух смежных интервалов. Смежные интервалы могут не совпадать по номерам внешних компонент, но должны быть ортогональны ровно по одной из них. Результатом обобщенного склеивания являются три интервала: два исходных и третий, который строится следующим образом:

– компоненты, по которым исходные векторы совпадают, сохраняют свои значения;

– компоненты, которые в одном из векторов являются внешними, а в другом – внутренними, принимают значения внешних компонент;

– ортогональная компонента становится внутренней.

Пример. Результатом обобщенного склеивания смежных векторов α и β являются векторы α, β и γ:

Законы алгебры логики и следствия из них

При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре логики производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы. Законы алгебры логики – это тавтологии (или теоремы).

1. Закон тождества:

2. Закон непротиворечия:

3. Закон исключения третьего:

4. Закон двойного отрицания:

5. Законы истины и лжи (свойства констант):

6. Законы идемпотентности:

7. Коммутативные законы:

8. Ассоциативные законы:

– дизъюнкции

– конъюнкции

9. Дистрибутивные законы:

– 1‑ый дистрибутивный закон

– 2‑ой дистрибутивный закон

10. Законы поглощения:

11. Законы де Моргана:

12. Закон импликации:

13. Закон эквивалентности:

14. Свойства сложения «по модулю два»:

Справедливость этих законов можно доказать с помощью таблиц истинности сложных логических связей описываемых законов.

Следствия из законов алгебры логики (часто используются при упрощении логических выражений).

1. Правило поглощения. Данное правило является следствием из дистрибутивного закона. Оно может быть записано в следующем виде:

2. Правило свертки. Правило является следствием из второго дистрибутивного закона. Запись правила:

а) ;

б) .

3. Правило расширения. Правило записывается в следующем виде:

4. Правило склеивания. Базируется на понятии соседних конъюнкций. Соседними называются конъюнкции, отличающиеся представлением одной переменной. Например, конъюнкции и , и являются попарно соседними. В первой паре конъюнкции отличаются представлением х 2 , а во второй – представлением х 1 . По этим переменным конъюнкции склеиваются.

Формулировка правила: две соседние конъюнкции склеиваются с образованием одной конъюнкции меньшего ранга; исчезает та переменная, по которой конъюнкция склеивается.

Что необходимо знать о вступлении в права наследства Оформление наследства, как вид перехода собственности недвижимого имущества, считается самым сложным по части сбора большого количества многочисленных […]

Основные законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений

В алгебре логики имеются законы, которые записываются в виде соотношений. Логические законы позволяют производить равносильные (эквивалентные) преобразования логических выражений. Преобразования называются равносильными, если истинные значения исходной и полученной после преобразования логической функции совпадают при любых значениях входящих в них логических переменных.

Для простоты записи приведем основные законы алгебры логики для двух логических переменных А и В. Эти законы распространяются и на другие логические переменные.

1. Закон противоречия:

2. Закон исключенного третьего:

3. Закон двойного отрицания:

4. Законы де Моргана:

5. Законы повторения: A & A = A; A v A = A; В & В = В; В v В = В.

6. Законы поглощения: A ? (A & B) = A; A & (A ? B) = A.

7. Законы исключения констант: A ? 1 = 1; A ? 0 = A; A & 1 = A; A & 0 = 0; B ? 1 = 1; B ? 0 = B; B & 1 = B; B & 0 = 0.

8. Законы склеивания:

9. Закон контрапозиции: (A ? B) = (B ? A).

Для логических переменных справедливы и общематематические законы. Для простоты записи приведем общематематические законы для трех логических переменных A, В и С:

1. Коммутативный закон: A & B = B & A; A ? B = B ? A.

2. Ассоциативный закон: A & (B & C) = (A & B) & C; A ? (B ? C) = (A ? B) ? C.

3. Дистрибутивный закон: A & (B ? C) = (A & B) ? (A & C).

Как уже отмечалось, с помощью законов алгебры логики можно производить равносильные преобразования логических выражений с целью их упрощения. В алгебре логики на основе принятого соглашения установлены следующие правила (приоритеты) для выполнения логических операций: первыми выполняются операции в скобках, затем в следующем порядке: инверсия (отрицание), конъюнкция (&), дизъюнкция (v), импликация (?), эквиваленция (?)

Выполним преобразование, например, логической функции

применив соответствующие законы алгебры логики.

Урок Законы алгебры логики

научиться применять законы алгебры логики для упрощения выражений;
развивать логическое мышлении;
прививать внимательность

Опрос законов алгебры логики (на доске).

Перечислим наиболее важные из них:

X X Закон тождества.
Закон противоречия
Закон исключенного третьего
Закон двойного отрицания
Законы идемпотентности: X X X, X X C
Законы коммутативности (переместительности): X Y Y X, X Y Y X
Законы ассоциативности (сочетательности): (X Y) Z X (Y Z), (X Y) Z X (Y Z)
Законы дистрибутивности (распределительности): X (Y Z) (X Y) (X Z), X (Y Z) (X Y) (X Z)
Законы де Моргана ,
X 1 X, X 0 X
X 0 0, X 1 1

“ Неверно, что 2*24”

— отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.

— отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.

1. Установить эквивалентны ли высказывания.

3. С помощью таблиц истинности доказать законы поглощения и склеивания.

I. Подача нового материала.

Законы поглощения: X (X Y) X, X (X Y) X
Законы склеивания: (X Y) (Y) Y, (X Y) (Y) Y

Доказать законы логики можно:

с помощью таблиц истинности;
с помощью равносильностей.

Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:

(X Y) (Y) (X+Y) *(+Y) X* + Y* + Y*Y+ X*Y Y* + Y + X*Y Y* + Y(1+X) Y* +Y Y(+1) Y склеивания
X (X Y) X*X+X*Y X+X*Y X(1+Y) X поглощения

П. Практическая часть

1. Упрощение формул.

Пример 1. Упростить формулу (А+В)·* (А+С)

Раскроем скобки (A + B) * (A + C) A * A + A * C + B * A + B * C
По закону идемпотентности A*A A , следовательно, A*A + A*C + B*A + B*C A + A*C + B*A + B*C
В высказываниях А и А*C вынесем за скобки А и используя свойство А+1 1, получим А+А*С+ B*A + B*C A*(1 + С) + B*A + B*СA + B*A + B*С
Аналогично пункту 3. вынесем за скобки высказывание А.
A + B*A + B*С A (1 + B) + B С A + B*С

2. Преобразования “поглощение” и “склеивание”

Пример 2. Упростить выражение А+ A*B

Решение. A+A*B A (1 + B) A — поглощение

Пример 3. Упростить выражение A*B+A*

Решение . A*B + A* A (B + ) A — склеивание

Пример 4. Преобразовать формулу так, чтобы не было отрицаний сложных высказываний.

Воспользуемся формулой де Моргана, получим:
Для выражения применим еще раз формулу де Моргана, получим:

4. Любую формулу можно тождественно преобразовать так, что в ней не будут использованы:

знаки логического сложения;
знаки логического умножения,
будут использованы:
знаки отрицания и логического умножения
знаки отрицания и логического сложения.

Пример 5. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения.

Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана.

1. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключив логическое сложение:

2. Формулы данных высказываний преобразовать в эквивалентные, исключить логическое умножение.

lunina.21205s09.edusite.ru

МИР ЛОГИКИ

Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Закон

Формулировка

1. Закон тождества

Всякое высказывание тождественно самому себе.

2. Закон исключенного третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Следовательно, результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина».

3. Закон непротиворечия

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание Х истинно, то его отрицание НЕ Х должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно.

4. Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате получим исходное высказывание.

5. Переместительный (коммутативный) закон

6. Сочетательный (ассоциативный) закон

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

5. Распределительный (дистрибутивный) закон

(X /\ Y) \/ Z= (X /\ Z) \/ (Y /\ Z)

(X /\ Y) \/ Z = (X \/ Z) /\ (Y \/ Z)

Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

7. Закон общей инверсии Закон де Моргана

Закон общей инверсии.

8. Закон равносильности (идемпотентности)

от латинских слов idem - тот же самый и potens -сильный

Законы поглощения алгебра логики

Тема 3. Основы математической логики 1. Логические выражения и логические операции.
2. Построение таблиц истинности и логических функций.
3. Законы логики и преобразование логических выражений.
Лабораторная работа № 3. Основы математической логики.

3. Законы логики и правила преобразования логических выражений

Закон двойного отрицания (двойное отрицание исключает отрицание):

А = = Ú

Закон идемпотентности (от латинских слов idem - тот же самый и potens - сильный; дословно - равносильный):

для логического сложения: А Ú A = A ;

для логического умножения:A & A = A .

Закон означает отсутствие показателей степени.

для логического умножения:A & 1 = A, A & 0 = 0 .

A & = 0 .

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

A Ú = 1 .

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе - ложно, третьего не дано.

для логического умножения:A & (A Ú B) = A .

Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), другие — основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Нарушения законов логики приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

Пример 1. Упростить формулу (А Ú В) & (А Ú С) .

Аналогично предыдущему пункту вынесем за скобки высказывание А .
A Ú B & A Ú B & C = A & (1 Ú B) Ú B & C = A Ú B & C .

Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний — все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.

Пример 2. Упростить выражения так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.

Решение: